BiNoMiO dE nEwToN

El bInOmIo De NeWtOn

Un binomio corresponde a un polinomio que se encuentra formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para así proceder al cálculo de las potencias de un binomio usando para esto números combinatorios. Por medio de esta fórmula se puede formular la potencia que se requiere como la suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.

Fórmula del binomio de Newton sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.

Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia 

(a + b)n como una suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.

Se puede ver que cada número es la suma de los dos que están inmediatamente por encima de él.

Estos números son precisamente los que actúan como coeficientes en el desarrollo del binomio. Por ejemplo la secuencia 1 3 3 1 de la cuarta fila son precisamente los coeficiente del binomio de tercer grado. Se puede ver igualmente que en el binomio desarrollado, cada término siguiente aumenta la potencia de b y disminuye la de a, y que igualmente se van alternando los signos.

En general, el binomio de grado n-ésimo tendrá el siguiente desarrollo:

Por ejemplo y utilizando la pirámide anterior podemos deducir que el desarrollo del binomio de sexto grado será:

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplos:
(a+b)⁴ =
a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(n-m)⁵
n⁵-5n⁴m+10n³m²-10n²m³+5nm⁴-m⁵

(x-y)³
x³-3x²y+3xy²-y³

Ejercicios del binomio de Newton

ejemplo: (a+b)²

Aplicando la formula queda: a²+2*a*b+b² 
lo cual quedaría como resultado final a²+2ab+b²


ejemplo: (3kd-n)²
aplicando la formula (3kd)²-2*3kd*n²+n²
final: 9k²d² - 6kdn² + n²


ejemplo: (2a+3)²
con la formula: (2a)²+2*2a*3+3²
final: 4a² + 12a + 9